Question

11．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=$\frac{F（s）}{F（t）}$，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=$\frac{F（s）}{F（t）}$中，找出最大值即可．

解答 解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=1\end{array}\right.$．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}F（s）=6\\ F（t）=12\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}F（s）=9\\ F（t）=9\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}F（s）=10\\ F（t）=8\end{array}\right.$，
∴$k=\frac{F（s）}{F（t）}=\frac{1}{2}$或$k=\frac{F（s）}{F（t）}=1$或$k=\frac{F（s）}{F（t）}=\frac{5}{4}$，
∴k的最大值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．