Question

【题目】如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图2，

连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，

∴CH是△ABD的中位线，

∴CH∥BD，CH= BD，

同理FG∥BD，FG= BD，

∴CH∥FG，CH=FG，

∴四边形CFGH是平行四边形

（2）

如图3所示

（3）

解：如图3，∵BD= ，∴FG= BD= ，∴正方形CFGH的边长是

【解析】（1）连接BD根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH= BD，同理FG∥BD，FG= BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果；（3）根据勾股定理得到BD= ，由三角形的中位线的性质得到FG= BD= ，于是得到结论．本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)．