Question

3．如图，P₁、P₂是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限图象上的两个点，点A₁坐标为（4，0），若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，则点A₂的横坐标为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于△P₁OA₁为等边三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P₁的坐标，根据点P₁是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．设A₁D=a，由于△P₂A₁A₂为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A₂点的坐标．

解答 解：作P₁C⊥OA₁，垂足为C，
∵点A₁坐标为（4，0），
∴△P₁OA₁为边长是4的等边三角形，
∴OC=2，P₁C=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴P₁（2，2$\sqrt{3}$）．
代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4$\sqrt{3}$，
所以反比例函数的解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．
设A₁D=a，
则OD=4+a，P₂D=$\sqrt{3}$a，
∴P₂（4+a，$\sqrt{3}$a）．
∵P₂（4+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，得（4+a）•$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$，
化简得a²+2a-1=0
解得：a=-2±2$\sqrt{2}$．
∵a＞0，
∴a=-2+2$\sqrt{2}$．
∴A₁A₂=-4+4$\sqrt{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=4$\sqrt{2}$，
∴点A₂的坐标为（4$\sqrt{2}$，0）．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．