Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-（x-k）²+k与x轴相交于点B、原点O，点A为抛物线的顶点，
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线一点（P在A的左侧，原点的右侧），连接AP、BP、AB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AD⊥BP于点D，当∠PAD=2∠ABP时，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出k的值；
（2）过点P作PE∥x轴，交AB于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，交PE于点G，求直线AB的解析式，并求出点E的坐标，最后利用三角形面积公式即可求出S与t的函数关系式；
（3）由∠PAD=2∠ABP可证明△PAM是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一可知MG=$\frac{1}{2}$AM，设MF=a，利用相似三角形的性质求出PG的长度，然后利用点P在抛物线上，求出a的值，进行而求出P的坐标，将P的横坐标代入（2）中的S与t的函数关系式即可求出△PAB的面积．

解答 解：（1）把（0，0）代入y=-（x-k）²+k中得：k²-k=0，
k（k-1）=0，
k₁=0（舍），k₂=1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x；
（2）过点P作PE∥x轴，交AB于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，交PE于点G，
y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴顶点A（1，1），
∴AF=1，
当y=0时，-x²+2x=0，
x₁=0，x₂=2，
∴B（2，0），
把x=t代入y=-x²+2x，
∴P（t，-t²+2t）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（1，1）和B（2，0）代入y=kx+b，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+2，
把y=-t²+2t代入y=-x+2，
∴x=t²-2t+2，
∴E（t²-2t+2，-t²+2t）
∴PE=（t²-2t+2）-t=t²-3t+2，
∴S=S_△APE+S_△BPE
=$\frac{1}{2}$PE•AG+$\frac{1}{2}$PE•GF
=$\frac{1}{2}$PE（AG+GF）
=$\frac{1}{2}$PE•AF
=$\frac{1}{2}$（t²-3t+2）（其中0＜t＜1）
（3）设AF与PB交于点M，
设MF=a，∠ABP=α，
∴∠PAD=2α，
由（2）可知：AF=BF，
∴∠MBF=45°-α，
∵∠ADM=∠MFB=90°，
∴∠DAM=∠MBF=45°-α，
∴∠PAM=45°-α+2α=45°+α，
∵∠PMA=∠FAB+∠ABP=45°+α，
∴∠PMA=∠PAM，
∴△PAM是等腰三角形，
∴MG=$\frac{1}{2}$AM，
∵MF=a，
∴AM=1-a，
∴MG=$\frac{1}{2}$（1-a），
∵PG∥x轴，
∴△PGM∽△BFM，
∴$\frac{PG}{BF}=\frac{MG}{MF}$，
∴PG=$\frac{1-a}{2a}$，
∵PG=1-t，
∴t=$\frac{3a-1}{2a}$，
∵GF=$\frac{1+a}{2}$，
∴P（$\frac{3a-1}{2a}$，$\frac{1+a}{2}$），
把P的坐标代入y=-x²+2x，
∴$\frac{1+a}{2}=\frac{3a-1}{2a}（2-\frac{3a-1}{2a}）$，
∴解得：a=1或a=$\frac{1}{2}$，
∴当a=1时，
t=$\frac{3×1-1}{2×1}$=1，不符合题意，舍去，
当a=$\frac{1}{2}$时，
∴t=$\frac{\frac{3}{2}-1}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴把t=$\frac{1}{2}$代入S=$\frac{1}{2}$（t²-3t+2），
∴S=$\frac{3}{8}$，

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形判定与性质，等腰三角形的判定，待定系数法求解析式，一元二次方程的解法，分式的运算等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识进行解答．