Question

已知，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=20，tanB=

1

3

，AD平分∠CAB，交BC边于点D，那么BD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：延长BA到E，使AE=AC，连接CE，得到等腰直角三角形ACE，则∠E=∠BAD=45°，CE∥AD，再根据和平行线分线段成比例定理得出CD：BD=AC：AB，结合三角函数的定义得出CD：DB=1：3，然后由BC=20即可求解．

解答：解：如图，延长BA到E，使AE=AC，连接CE，则∠E=∠ECA=45°．
∵∠CAD=∠BAD=45°，
∴∠E=∠BAD=45°，
∴CE∥AD，
∴△ABD∽△EBC，
∴CD：BD=AE：AB，
∵AC=AE，
∴CD：BD=AC：AB，
∵AC：AB=tanB=

1

3

，
∴CD：DB=1：3，即DB=3CD，
∵DB+CD=BC=20，
∴CD=5，BD=15．
故答案为：15．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角函数，通过作辅助线，得到CE∥AD，构造比例线段进行转换，考查了灵活运用知识的能力．