Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：∠EDB=∠B．
（2）若sinB=$\frac{3}{5}$，AB=10，OA=2，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．首先证明∠AOF=∠B，根据sin∠AOF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{3}{5}$，求出AF、AD、BD，再在Rt△DEH中，解直角三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EDB=∠B．

（2）解：作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．
∵∠A+∠AOF=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠AOF=∠B，
∴sin∠B=sin∠AOF=$\frac{3}{5}$=$\frac{AF}{OA}$，
∵OA=2，
∴AF=$\frac{6}{5}$，
∵OF⊥AD，
∴AD=2AF=$\frac{12}{5}$，
∴DB=AB-AD=10-$\frac{12}{5}$=$\frac{38}{5}$，
∵∠EDB=∠B，
∴ED=EB，∵EH⊥DB，
∴DH=BH=$\frac{19}{5}$，
∵sin∠EDB=sin∠B=$\frac{EH}{DE}$=$\frac{3}{5}$，设EH=3k，DE=5k，
在Rt△DEH中，∵DE²=DH²+EH²，
∴DH=4k=$\frac{19}{5}$，
∴k=$\frac{19}{20}$，
∴DE=5k=$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查切线的性质，解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．