Question

△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，AB=10，AC=6，AM平分∠BAC，且与⊙O相交于点M，过点M作直线DE，使DE∥BC．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求AM的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连接OM，交BC于N．根据角平分线的性质可得

BM

=

CM

，再根据垂径定理可得OM⊥BC，再根据平行线的性质即可得到直线DE与⊙O的位置关系；
（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．在直角△ABP中，BP=5

3

，AP=5．则PC=AC-AP=1．在直角△BPC中，由勾股定理得到BC=2

19

；然后由垂径定理和圆周角定理推知∠NBM=∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，易求BM=

2 57

3

．如图，过点B作BQ⊥AC于点Q．通过解直角△ABQ知：AQ=5

3

，BQ=5；最后在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=

3

3

，故AM=AQ+MQ=

16 3

3

．

解答：解：（1）连接OM，交BC于N．
∵AM平分∠BAC，
∴

BM

=

CM

，
∴OM⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OM⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）如图，过点B作BP⊥AC于点P．
∵在直角△ABP中，∠APB=90°，∠BAC=60°，AB=10，
∴BP=AB•sin60°=5

3

，AP=

1

2

AB=5．
又 AC=6，
∴PC=AC-AP=1，
∴在直角△BPC中，由勾股定理得到：BC=

BP2+PC2

=2

19

．
由（1）知，OM⊥BC，则BN=

1

2

BC=

19

，

BM

=

CM

=

1

2

BC

，
∴∠NBM=∠BAM=

1

2

∠BAC=30°，
∴BM=

BN

cos30°

=

2 57

3

．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q．
∴在直角△ABQ中，AQ=AB•sin30°=5

3

，BQ=

1

2

AB=5
∴在直角△BMQ中，由勾股定理得到：MQ=

BM2-BQ2

=

3

3

，
∴AM=AQ+MQ=

16 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．