Question

15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm²？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm²，可以分为两种情况：点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．

解答 解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，如图（1）：

∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得t=5
当P从C运动到B时，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=$\frac{37}{3}$，
∴当t=5或$\frac{37}{3}$秒时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，如图（2）：

$\frac{DQ+CP}{2}•AB=60$，
即$\frac{16-t+21-2t}{2}×12=60$，
解得t=9；
若点P返回时，CP=2（t-$\frac{21}{2}$），
则$\frac{16-t+2（t-\frac{21}{2}）}{2}×12=60$，
解得t=15．
故当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm²；

（3）当PQ=PD时，如图（3）：

作PH⊥AD于H，则HQ=HD
∵QH=HD=$\frac{1}{2}$QD=$\frac{1}{2}$（16-t）
由AH=BP得2t=$\frac{1}{2}$（16-t）+t，
解得t=$\frac{16}{3}$秒；
当PQ=QD时QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD²=PQ²=t²+12²
∴（16-t）²=12²+t²
解得t=$\frac{7}{2}$（秒）；
当QD=PD时DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2t）²
∴（16-t）²=12²+（16-2t）²
即3t²-32t+144=0
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=$\frac{16}{3}$秒或t=$\frac{7}{2}$秒时，△PQD是等腰三角形．

点评 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．