Question

24、在正方形ABCD的对角线AC上截取一点E，使CE=CD．然后以ED所在的直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△FDE，DF与AC交于G点．
（1）求证：四边形CDEF为等腰梯形．
（2）将正方形ABCD拉成菱形，如继续按（1）中方法作图，让E点还在对角线AC上，且不与A、C两顶点重合，问（1）中结论是否继续成立，如成立，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE与△FDE关于ED所在的直线对称，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四边形CDEF为梯形；易证△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四边形CDEF为等腰梯形；
（2）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE与△FDE关于ED所在的直线对称，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四边形CDEF为梯形；易证△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四边形CDEF为等腰梯形；

解答：证明：（1）∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE与△FDE关于ED所在的直线对称，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四边形CDEF为梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四边形CDEF为等腰梯形；

（2）四边形CDEF为等腰梯形．理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE与△FDE关于ED所在的直线对称，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四边形CDEF为梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四边形CDEF为等腰梯形；

点评：本题主要考查了等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形及菱形的性质，掌握正方形及菱形的对角线平分这组对角，是正确解答本题的关键．