Question

20．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=120°°，此时直线CE与AB的位置关系是CE⊥AB．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S₁，△AEC的面积S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=S₂．
（4）如图3，当点B、D、E三点不在一直线上时，（3）中的S₁与S₂的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到AC=CD，∠CDE=60°，故此可证明三角形ADC为等边三角形，于是得到∠DCA=60°，故此可证明∠DCA=∠CDE=60°，最后依据平行线的判断定理可得到DE与AC的位置关系；
（2）延长EC交AB于点F．由旋转的性质可知：CB=CE，依据等腰三角形的性质可求得∠CBE=∠E=30°，然后依据三角形的内角和定理可得到∠BCE=120°，接下来，在△FBE中证明∠BFE=90°，可得到EF与AB的关系；
（3）延长EC交AB于点F，过点D作DG⊥BC，垂足为G．首先证明△FCA≌△GCD，由全等三角形的性质可得到AF=GC，然后依据三角形的面积公式可证明S₁=S₂；
（4）过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．先证明△AGC≌△DHC，由全等三角形的性质可得到AG=DH，然后依据三角形的面积公式可证明S₁=S₂．

解答 解：（1）DE∥AC．
理由：∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°
∴DE∥AC．
（2）如图1所示：延长EC交AB于点F．

∵由旋转的性质可知：CB=CE，
∴∠CBE=∠E=30°．
∴∠BCE=120°，即旋转角α=120°．
∵∠ABC=30°，∠CBE=30°，
∴∠FBE=60°．
∴∠E+∠FBE=30°+60°=90°．
∴∠BFE=90°．
∴EC⊥AB．
故答案为：120°；EC⊥AB．
（3）如图2所示：延长EC交AB于点F，过点D作DG⊥BC，垂足为G．

∵由（2）可知CE⊥AB，∠BCE=120°
∴∠CFA=90°，∠BCD=30°．
∵∠FAC=60°，
∴∠FCA=30°．
∴∠FCA=∠DCG=30°．
由旋转的性质可知：AC=CD．
在△FCA和△GCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DCG}\\{∠CFA=∠DGC=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△GCD．
∴AF=GD．
又∵BC=CE，
∴$\frac{1}{2}$EC•AF=$\frac{1}{2}$CB•DG，即S₁=S₂．
故答案为：S₁=S₂．
（4）S₁=S₂仍然成立．
理由：如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋转后与△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH．
∵在△AGC和△DHC中$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠DHC}\\{∠ACG=DCH}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△DHC．
∴AG=DH．
∴$\frac{1}{2}$EC•AF=$\frac{1}{2}$CB•DG，即S₁=S₂．

点评 本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、等边三角形的性质与判断、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判断证得△BDC与△AEC是一对等底等高的三角形是解题的关键．