Question

14．如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且A（-1，0），OB=OC=3OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接AC、PB、PC．且S_{四边形OBPC}=5S_△AOC，试求点P的坐标？
（3）如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接CM、AN．记m=CM+MN+AN，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离，可得PM的长，根据面积的和差，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据平行的性质，可把MN平移到CO上，根据轴对称的性质，可得C′点的对称点C″，根据两点间线段最短，可得C″A，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）由A（-1，0），OB=OC=3OA，得
OB=OC=3，
即B（3，0），C（0，3），
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）作PM⊥x轴交BC于M点，如图1
，
由B（3，0），C（0，3），得BC的解析式为y=-x+3，
设P点坐标为（n，-n²+2n+3），M（n，-n+3）．
PM的长为-n²+2n+3-（-n+3）=-n²+3n，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•OC=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$，
S_{四边形OBPC}=S_△OBC+S_△PBC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3（-n²+3n）=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{9}{2}$n+$\frac{9}{2}$；
由S_{四边形OBPC}=5S_△AOC，得
-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{9}{2}$n+$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$×5．
化简，得
n²-3n+2=0，
解得n₁=1，n₂=2，
P点坐标为（1，4）（2，3）；
（3）m有最小值，理由如下：
在OC上作CC′=MN=1，如图2
，
作C′关于对称轴的对称点，连接C″A，
CM+AN=AC″取得最小值为C″A．
在Rt△ADC″中，由勾股定理，得
C″A=$\sqrt{A{D}^{2}+C″{D}^{2}}$=$\sqrt{（2+1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
m_最小=CM+MN+AN=C″A+MN=1+$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是将A，B，C的坐标代入求方程组；解（2）的关键是利用面积相等得出关于n的方程；解（3）的关键是利用平移先得出CC′=1，再利用两点之间线段最短．