Question

已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．

Answer 1

（1）直线y=-x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是
A（3，0），B（0，3），
抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
c=3
-9+3b+c=0，
得到b=2，c=3，
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3．

（2）①作经过点D与直线y=-x+3平行的直线交抛物线于点M．

则S_△ABM=S_△ABD，
直线DM的解析式为y=-x+t．
由抛物线解析式y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得D（1，4），
∴t=5．
设M（m，-m+5），
则有-m+5=-m²+2m+3，
解得m=1（舍去），m=2．
∴M（2，3）．
②易求直线DM关于直线y=-x+3对称的直线l的解析式为y=-x+1，l交抛物线于M．
设M（m，-m+1）．
由于点M在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-m+1=-m²+2m+3．
解得m=

3+ 17

2

，m=

3- 17

2

∴M（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或M（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）
∴使△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标分别是
（2，3），（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

），（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．