Question

13．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；
（3）如图2，点M（-4，0）是x轴上的一个点，点P是坐标平面内一点．若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点P的坐标（不要解题过程）．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC=FD，从而可把OC-OD转化为FD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OE+OF=8；
（3）可分别求得AM、BM和AB的长，再分AM为对角线、AB为对角线和BM为对角线，分别利用平行四边形的对边平行且相等可求得P点坐标．

解答 解：
（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）不变．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，如图1．

则∠AEC=∠AFD=90°，
又∵∠BOC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE+∠DAF=90°，
∵∠CAD=90°，
∴∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DAF．
∵A（-4，4），
∴OE=AF=AE=OF=4．
在△AEC和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFD}\\{AE=AF}\\{∠CAE=∠DAF}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC=FD．
∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8．
故OC-OD的值不发生变化，值为8；
（3）∵A（-4，4），B（0，2），M（-4，0），
∴AM=4，BM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（-4）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
①当AM为对角线时，连接BP交AM于点H，连接PA、PM，如图2，

∵四边形ABMP为平行四边形，且AB=BM，
∴四边形ABMP为菱形，
∴PB⊥AM，且AH=HM，PH=HB，
∴P点坐标为（-8，2）；
②当BM为对角线时，
∵AM⊥x轴，
∴BC在y轴的负半轴上，
∵四边形ABPM为平行四边形，
∴BP=AM=4，
∴P点坐标为（0，-2）；
③当AB为对角线时，同②可求得P点坐标为（0，6）；
综上可知满足条件的所有点P的坐标为（0，6）、（0，-2）和（-8，2）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．