Question

9．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=$\frac{1}{4}$x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S_△PAB=2S_△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；
（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，$\frac{4}{c}$），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c-4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．

解答 解：（1）k=4，S_△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y=$\frac{1}{4}$x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得到点A的坐标为（-4，-1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S_△AOP=S_△BOP，
∴S_△PAB=2S_△AOP．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（-4，-1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S_△AOP=S_△AOC+S_△POC
=$\frac{1}{2}$OC•AR+$\frac{1}{2}$OC•PS
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{15}{2}$，
∴S_△PAB=2S_△AOP=15；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
设P（m，$\frac{4}{m}$），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}=ma+b}\\{-1=-4a+b}\end{array}\right.$，解得直线PA的方程为y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{4}{m}$-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}=mp+q}\\{4p+q=1}\end{array}\right.$，解得直线PB的方程为y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{4}{m}$+1，
∴M（m-4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
可设点Q为（c，$\frac{4}{c}$），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
$\left\{\begin{array}{l}{-4p+q=-1}\\{cp+q=\frac{4}{c}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{c}}\\{q=\frac{4}{c}-1}\end{array}\right.$，
∴直线AQ的解析式为y=$\frac{1}{c}$x+$\frac{4}{c}$-1．
当y=0时，$\frac{1}{c}$x+$\frac{4}{c}$-1=0，
解得：x=c-4，
∴D（c-4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c-（c-4）=4，ET=c+4-c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN-∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM-∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．

点评 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．