Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：由x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，可得x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁•x₂=

a

a-6

，△=（2a）²-4a（a-6）=24a＞0，又由-x₁+x₁x₂=4+x₂，即可求得a的值．

解答：解：存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-

2a

a-6

，x₁•x₂=

a

a-6

，△=（2a）²-4a（a-6）=24a＞0，
∴a＞0，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₂+x₁，
即

a

a-6

=4-

2a

a-6

，
解得：a=24．

点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．