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    如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=4
    		5
    ，D为边AB上一动点（D和A、B不重合），过D作DE∥BC交AC于E，并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG，设AD=x，
    （1）请用x的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值；
    （2）设正方形DEFG与△ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；
    （3）点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）首先设BC边上的高AM交DE天点P．由在△ABC中，AB=AC=，BC=4
    		5
    ，即可求得BM与AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形高的比等于相似比，即可求得答案；
    （2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为
    2
    		5
    5
    x，然后分别从当FG在△ABC的内部时与当FG在△ABC的外部时去分析求解即可求得答案．
    （3）根据题意即可得出结论．
    解答：解：（1）作AM⊥BC于M，作BH⊥AC于H，DE如图1所示：
    DE
    10
    =
    x
    10

    ∵AB=BC=10，AC=45，BH⊥AC，
    ∴AH=
    1
    2
    AC=2
    		5
    ，
    ∴BH2=AB2-AH2=102-(2
    		5
    )2    =80，
    ∴BH=4
    		5
    ，S△ABC=
    1
    2
    BC•AM=
    1
    2
    AC•BH    ，
    ∴AM=
    AC•BH
    BC
    =
    4
    		5
    •4
    		5
    10
    =8，
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∽△ABC，
    ∴
    DE
    BC
    =
    AD
    AB
    ，即
    DE
    10
    =
    x
    10
    ，
    ∴DE=x，
    ∴正方形DEFG的面积为DE2=x2；
    当FG落在BC上时，如图2所示：设DE交AM于P，
    ∵△ADE∽△ABC，
    ∴
    DE
    BC
    =
    AD
    AB
    ，即
    x
    10
    =
    8-x
    8
    ，
    解得：x=
    40
    9
    ；

    （2）由（1）得，DE=x，
    ①当FG在△ABC的内部时，
    如图2所示：y=DE2=x2，（0＜x＜
    40
    9
    ）；
    ②当FG与BC重合或在△ABC的外部时，设DG交BC于点N；如图3所示：
    在Rt△DBN中，DN=8-
    4
    5
    x，
    ∴y=DE•DN=x•（8-
    4
    5
    x）=-
    4
    5
    x2    +8x（
    40
    9
    ≤x＜10）；

    （3）①当AD=时，G、B在以D为圆心（DB=DG为半径）的圆上；理由如下：
    当G、B在以D为圆心的圆上时，DB=DG=DE=AD，
    ∴D为AB的中点，
    ∴AD=5；
    ②当AD=
    80
    13
    时，D、G在以B为圆心（BD=BG为半径）的圆上；理由如下：
    当BD=BG时，N为DG的中点，
    ∴DN=
    1
    2
    DG=
    1
    2
    x，
    ∴
    1
    2
    x=8-
    4
    5
    x，
    解得：x=
    80
    13
    ，即AD=
    80
    13
    ；
    ③当AD=
    50
    13
    时，D、B在以G为圆心（GD=GB为半径）的圆上；理由如下：
    根据题意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如图4所示：
    则Q为BD的中点，DQ=
    1
    2
    BD=5-
    x
    2
    ，△DGQ≌△ADP，
    ∴DQ=AP，即5-
    x
    2
    =
    4
    5
    x，
    解得：x=
    50
    13
    ；即AD=
    50
    13
    ．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及面积的计算；本题难度较大，解题的关键是画出图形，注意准确作出辅助线，掌握数形结合思想的运用．
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    A、
    150
    x
    =
    100
    x+10
    B、
    150
    x+10
    =
    100
    x
    C、
    150
    x-10
    =
    100
    x
    D、
    150
    x
    =
    100
    x-10

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    3x+7
    4
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    x+4
    5
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    A、5（3x+7）-1=4（x+4）
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