Question

△ABC中，∠A=90°，∠A的平分线AD交BC于D，DB=3，DC=4，则△ABC内切圆的直径是（　　）

• A、

  7

  5

• B、

  14

  5

• C、

  16

  5

• D、

  84

  25

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得出四边形DEAF是矩形，推出AE=ED，得出四边形DEAF是正方形，推出DE=AE=AF=DF，设DE=AE=AF=DF=a，根据△BED∽△DFC，求出BE=

3

4

a，CF=

4

3

a，在Rt△BAC中，由勾股定理得出（a+

3

4

a）²+（a+

4

3

a）²=（3+4）²，求出a=

12

5

，求出AB=

21

5

，AC=

28

5

，设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，根据S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，得出

21

5

×

28

5

=

28

5

R+

21

5

R+7R，求出R即可．

解答：
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四边形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
设DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴

BE

DF

=

DE

CF

=

BD

DC

，
∴

BE

a

=

a

CF

=

3

4

，
∴BE=

3

4

a，CF=

4

3

a，
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
即（a+

3

4

a）²+（a+

4

3

a）²=（3+4）²，
a=

12

5

，
则AB=

21

5

，AC=

28

5

，
设直角三角形ABC的内切圆的半径是R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，
∴

1

2

AC×AB=

1

2

AC×R+

1

2

BC×R+

1

2

AB×R，
∴

21

5

×

28

5

=

28

5

R+

21

5

R+7R，
R=

7

5

，
即直角三角形ABC的内切圆的直径是

14

5

，
故选B．

点评：本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．