Question

9．如图，两张宽为2（cm）的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若∠BAD=60°，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥AD与E，作BF⊥CD于F，根据矩形纸条对边平行可得AB∥CD，BC∥AD，然后判断出四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的面积求出CD=AD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解答；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=$\frac{1}{2}$AB，然后利用勾股定理列方程求出AB，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形．
理由如下：如图，过点B作BE⊥AD与E，作BF⊥CD于F，
∵两纸条为矩形纸条，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两纸条宽度都是2cm，
∴BE=BF，
∴平行四边形ABCD的面积=AD•BE=CD•BF，
∴CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠BAD=60°，
∴∠ABE=90°-∠BAD=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB²=AE²+BE²，
即AB²=（$\frac{1}{2}$AB）²+2²，
解得AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以，重叠部分的面积=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难点在于利用平行四边形的面积求出邻边相等．