Question

19．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB=2，△DOE的面积为$\frac{5}{4}$，则AE的长为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． 1.5
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S_△BOE=S_△DOE=$\frac{5}{4}$，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．

解答 解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE=DE，S_△BOE=S_△DOE=$\frac{5}{4}$，
∴S_△BDE=2S_△BOE=$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$DE•AB=$\frac{5}{2}$，
又∵AB=2，
∴DE=$\frac{5}{2}$，
∴BE=$\frac{5}{2}$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=1.5．
故选：C．

点评 此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．