Question

9．如图1，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F，
（1）求证：BF⊥ED；
（2）将图1中直线AP绕点A顺时针旋转，使∠PAB=60°（如图2），若AB=2，求△BED的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AE，先证∠3=∠4，再证∠4=∠5，得出∠3=∠5，然后由∠2+∠3=∠1+∠5=90°，即可得出结论；
（2）连接AE，过E作EG⊥AD，交DA的延长线于G，先求出BE，得出△ABE的面积；再求出EG，得出△ADE的面积；△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接AE，如图1所示：
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴EF=BF，AE=AB，
∴△AEF和△ABF关于直线AP对称，
∴∠3=∠4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥ED；
（2）解：连接AE，过E作EG⊥AD，交DA的延长线于G，如图2所示：
∵∠PAB=60°，AB=2，
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=1，PB=$\sqrt{3}$，
∴BE=2PB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∵∠EAP=∠PAB=60°，
∴∠EAG=60°+60°-90°=30°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×2×1═1，
又∵△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积=1+$\sqrt{3}$+2=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质、面积的计算方法；熟练掌握正方形和轴对称的性质得出等腰三角形，进一步得出角之间的关系是解决问题的关键．