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9.如图1,在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F,
(1)求证:BF⊥ED;
(2)将图1中直线AP绕点A顺时针旋转,使∠PAB=60°(如图2),若AB=2,求△BED的面积.

分析 (1)连接AE,先证∠3=∠4,再证∠4=∠5,得出∠3=∠5,然后由∠2+∠3=∠1+∠5=90°,即可得出结论;
(2)连接AE,过E作EG⊥AD,交DA的延长线于G,先求出BE,得出△ABE的面积;再求出EG,得出△ADE的面积;△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积,即可得出结果.

解答 (1)证明:连接AE,如图1所示:
∵点B关于直线AP的对称点为E,
∴EF=BF,AE=AB,
∴△AEF和△ABF关于直线AP对称,
∴∠3=∠4,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴AE=AD,∠1+∠5=90°,
∴∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°,
∴∠BFD=90°,
∴BF⊥ED;
(2)解:连接AE,过E作EG⊥AD,交DA的延长线于G,如图2所示:
∵∠PAB=60°,AB=2,
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=1,PB=$\sqrt{3}$,
∴BE=2PB=2$\sqrt{3}$,
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$,
∵∠EAP=∠PAB=60°,
∴∠EAG=60°+60°-90°=30°,
∴EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AB=1,
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×2×1═1,
又∵△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2,
∴△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积=1+$\sqrt{3}$+2=3+$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质、面积的计算方法;熟练掌握正方形和轴对称的性质得出等腰三角形,进一步得出角之间的关系是解决问题的关键.

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例如:由于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$.
完成解答:
①类比上面推理将累加式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化简为1-$\frac{1}{{2}^{n}}$;
②利用上面的解题方法化简累加式1+2+22+23+24+A+2n=2n+1-1;
③化简累加式:$\frac{5}{2}+\frac{17}{4}+\frac{65}{8}+\frac{257}{16}+…+\frac{(2n)^{2}+1}{{{2}^{n}}_{\;}}$=2n+1-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$.

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