Question

3．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是①④（填写序号）

Answer 1

分析 根据抛物线对称轴方程对①进行判断；根据自变量为1时对应的函数值为负数可对②进行判断；根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），则可对③进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴位置可得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，于是可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．

点评 本题考查了二次项函数与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．