Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的是_____（只需填序号）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据二次函数的性质对④进行判断.

①∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴4ac＜b2，结论①正确；

②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，结论②正确；

③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，

∴﹣=1，

∴b=﹣2a．

∵当x=﹣1时，y=0，

∴a﹣b+c=0，即3a+c=0，结论③正确；

④∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，结论④错误；

⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，

∴当x＜0时，y随x增大而增大，结论⑤正确．

综上所述：正确的结论有①②③⑤．

故答案为：①②③⑤．