Question

13．正方形ABCD，以AC为边作平行四边形ACEF，且∠ECB=15°，FE的延长线交AB于B，在AC上截取CG=BC，连接BG并延长交CD的延长线于点H．
（1）若AB=4，求线段EC的长；
（2）探究线段CH、AD、EF之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）作EN⊥AC、BM⊥AC垂足分别为N、M，先求出BM，再证明EN=BM，在RT△ECN中利用勾股定理即可解决．
（2）设正方形ABCD边长为4a，由AB∥CH得$\frac{AB}{CH}$=$\frac{AG}{CG}$，求出CH，即可发现DH=EF．由此解决问题．

解答 解；（1）如图作EN⊥AC、BM⊥AC垂足分别为N、M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC=4，∠ABC=90°，∠BAC=∠ACB=45°，AC=4$\sqrt{2}$，∵BM⊥AC，
∴AM=MC，BM=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AC∥BF，
∵EN∥BM，
∴四边形BENM是平行四边形，
∴EN=BM=2$\sqrt{2}$，
在RT△ECN中，∵∠ENC=90°，∠ECN=∠ACB-∠ECB=30°，
∴EC=2EN=4$\sqrt{2}$．
（2）设正方形ABCD边长为4a，则CG=BC=4a，AC=4$\sqrt{2}$a，AG=4$\sqrt{2}$a-4a，
∵AB∥CH
∴$\frac{AB}{CH}$=$\frac{AG}{CG}$，
∴$\frac{4a}{CH}$=$\frac{4\sqrt{2}a-4a}{4a}$，
∴CH=4a+4$\sqrt{2}$a，
∴DH=CH-CD=4$\sqrt{2}$a，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AC=EF=4$\sqrt{2}$a，
∴DH=EF，
∴CH=CD+DH=AD+EF．

点评 本题考查正方形性质、平行四边形性质勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会设未知数，表示相应线段的方法，找到线段之间的关系，体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．