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阅读下列材料:

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,点M、N分别在边AB、BC上,且MN∥AD,记AD=a,BC=b,若,则有结论:

请根据以上结论,解答下列问题:

如图2,3,BE、CF是△ABC的两条角平分线,过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3,交BC于点P1,交AB于点P2,交AC于点P3

(1)若点P为线段EF的中点,求证:PP1=PP2+PP3

(2)若点P在线段EF上任意位置时,试探究PP1、PP2、PP3的数量关系,给出证明。

 

【答案】

解:(1)证明:如图,过点E作ED1⊥BC于D1,ED2⊥AB于D2

∵BE是∠ABC的角平分线,∴ED1= ED2

∵点P为线段EF的中点,且PP2⊥AB,

∴PP2∥ED2。∴。∴,即

同理,过点F作FG1⊥BC于G1,FG2⊥AC于G2,得

在梯形EFG1D1中,∵公式中,m=n,

(梯形中位线定理)。

(2)。证明如下:

如图,过点E作ED1⊥BC于D1,ED2⊥AB于D2,过点F作FG1⊥BC于G1,FG2⊥AC于G2

,则梯形EFG1D1满足公式

公式中,当b=0时,原梯形变为三角形,

将②③代入①,得

【解析】(1)过点E作ED1⊥BC于D1,ED2⊥AB于D2,过点F作FG1⊥BC于G1,FG2⊥AC于G2,由角平分线上的点到角的两边距离相等,可得ED1= ED2,FG1= FG2。在△FED2和△FEG2中应用三角形中位线定理,可得。在梯形EFG1D1中,由公式可证得结论。

(2)同(1)过点E作ED1⊥BC于D1,ED2⊥AB于D2,过点F作FG1⊥BC于G1,FG2⊥AC于G2,由角平分线上的点到角的两边距离相等,可得ED1= ED2,FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中,由公式可求得结论。

 

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料:
如图表示我国农村居民的小康生活水平实现程度地处西部某贫困县,农村人口约50万,2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68%,即没有达到小康程度的人口约为(1-68%)×50万=16万.
解答下列问题:
(1)假设该县计划在2002年的基础上,到2004年底,使没有达到小康程度的16万农村人口降至10.24万,那么平均每年降低的百分率是多少?
(2)如果该计划实现,2004年底该县农村小康进程接近图中哪一年的水平?(假设该县人口2年内不变)精英家教网

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

精英家教网阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.精英家教网
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上,并说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=
12
AB
.(1)求证△ABE≌△ADF;
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(2)阅读下列材料:
如图2,把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度,可以变到△ECD的位置;
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如图3,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置;
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如图4,以点A为中心把△ABC旋转180°,可以变到△AED的位置.
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像这样,其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.
(3)回答下列问题:
①在图1中,可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使△ABE变到△ADF的位置,
答:
 

②指出图1中,线段BE与DF之间的关系.
答:
 

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•乐山)阅读下列材料:
如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,点M,N分别在边AB,DC上,且MN∥AD,记AD=a,BC=b.若
AM
MB
=
m
n
,则有结论:MN=
bm+an
m+n

请根据以上结论,解答下列问题:
如图2,图3,BE,CF是△ABC的两条角平分线,过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1,PP2,PP3,交BC于点P1,交AB于点P2,交AC于点P3
(1)若点P为线段EF的中点.求证:PP1=PP2+PP3
(2)若点P为线段EF上的任意位置时,试探究PP1,PP2,PP3的数量关系,并给出证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列材料:
如图1,在四边形ABCD中,已知∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°.求证:CD=AB.
小刚是这样思考的:由已知可得,∠CAB=30°,∠DAC=75°,∠DCA=60°,∠ACB+∠DAC=180°,由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E,则AB=AE,∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中,
∠D=∠E
∠DAC=∠ECA=75°
AC=CA

∴△ADC≌△CEA,
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法,解决下面问题:

如图2,在四边形ABCD中,若∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D,请问:CD与AB是否相等?若相等,请你给出证明;若不相等,请说明理由.

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