Question

11．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）C点的坐标为（8，0）；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．．

Answer 1

分析 （1）要求点C的坐标，只需运用勾股定理求出OC即可．
（2）易证△AFE≌△CFD，得到EF=DF，要求DE，只需求出DF．先证明△DFC∽△AOC，再根据相似三角形的对应边成比例就可求出DF，进而求出DE．
（3）构成菱形的四个顶点的顺序不定，需分情况讨论．由于D、F是定点，可将线段DF分为两大类：DF为菱形的一边、DF为菱形的对角线．然后分别讨论即可．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C点的坐标为（8，0）．
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴$\frac{DF}{AO}$=$\frac{FC}{OC}$=$\frac{DC}{AC}$．
∴$\frac{DF}{6}$=$\frac{5}{8}$=$\frac{DC}{10}$．
∴DF=$\frac{15}{4}$，DC=$\frac{25}{4}$．
∴OD=OC-DC=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×$\frac{15}{4}$=$\frac{15}{2}$．
∴折痕DE的长为$\frac{15}{2}$．
（3）过点F作FH⊥DC，垂足为H，如图2，
∵S△DFC=$\frac{1}{2}$DF•FC=$\frac{1}{2}$DC•FH，DF=$\frac{15}{4}$，FC=5，DC=$\frac{25}{4}$，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=$\frac{15}{4}$，FH=3，
∴DH=$\frac{9}{4}$．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF为菱形的一边
当DM为菱形的对角线时，如图3．点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标为（4，-3）．
当DM为菱形的另一边时，如图4．此时FN∥DM，FN=DF=$\frac{15}{4}$．
∵F（4，3），
∴点N的坐标为（4-$\frac{15}{4}$，3）或（4+$\frac{15}{4}$，3）即（$\frac{1}{4}$，3）或（$\frac{31}{4}$，3）．
②若DF为菱形的对角线，如图5．
∵四边形DNFM为菱形，
∴MN⊥DF，DG=$\frac{1}{2}$DF．
∵DF⊥AC，
∴∠DGM=∠DFC=90°．
∴MN∥AC．
∴△DGM∽△DFC．
∴$\frac{DM}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$=$\frac{1}{2}$．
∴DM=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{25}{8}$．
∵四边形DNFM为菱形，
∴NF∥DM，NF=DM=$\frac{25}{8}$．
∴点N的坐标为（4-$\frac{25}{8}$，3）即（$\frac{7}{8}$，3）．
综上所述：符合要求的点N的坐标可能为（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，3）、（$\frac{31}{4}$，3）、（ $\frac{7}{8}$，3）．

点评 本题运用了矩形的性质、菱形的性质、三角形相似（包括全等）的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．