Question

12．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△AOP=4S_△BOC，求点P的坐标；
（3）若点Q在直线BC上，且$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△QAB，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）求出点B的坐标，根据三角形面积公式求出S_△BOC，设点P的纵坐标为h，根据题意求出h，解方程即可；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点Q的纵坐标为d，根据题意求出d，计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0），交y轴于点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得，b=-2，c=3，
则抛物线的函数表达式为y=-x²-2x+3；
（2）令y=0，-x²-2x+3=0，
解得，x₁=-3，x₂=1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{3}{2}$，
设点P的纵坐标为h，
则$\frac{1}{2}$×3×|h|=4×$\frac{3}{2}$，
解得，h=±4，
当h=4时，-x²-2x+3=4，x₁=x₂=-1，
∴点P的坐标为（-1，4），
当h=-4时，-x²-2x+3=-4，x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（-1+2$\sqrt{2}$，-4），（-1-2$\sqrt{2}$，-4），
∴点P的坐标为（-1，4），（-1+2$\sqrt{2}$，-4），（-1-2$\sqrt{2}$，-4）；
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=6，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，k=-3，b=3，
∴设直线BC的解析式为y=-3x+3，
设点Q的纵坐标为d，
$\frac{1}{2}$×6=$\frac{1}{2}$×4×|d|，
解得，d=±$\frac{3}{2}$，
当d=$\frac{3}{2}$时，-3x+3=$\frac{3}{2}$，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
当d=-$\frac{3}{2}$时，-3x+3=-$\frac{3}{2}$，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
∴点Q的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴点Q的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，$\frac{1}{2}$S_△ABC=S_△QAB．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法以及待定系数法求函数解析式，正确运用待定系数法求出一次函数解析式和二次函数解析式、掌握坐标与图形的关系是解题的关键．