Question

19．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）连接OF，若AC=$\sqrt{3}$，∠D=30°，求线段OF的长．

Answer 1

分析 （1）先利用直角三角形的两锐角互余和对顶角，得出∠BAP=∠OEG，再用同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠AEC，最后用三角形的外角得出∠APC=∠AEO=45°即可；
（2）先利用切线的性质得出∠AOC=60°，进而得出∠BAC=60°，再利用锐角三角函数求出BC，进而得出BP，最后利用三角形的中位线判断出OF=$\frac{1}{2}$BP即可．

解答 解：（1）如图1，

连接AE，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，
∴∠OEG+∠OGE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°，
∵∠AGF=∠OGE，
∴∠OEG=∠BAP，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠APC=45°=∠APC，
∴CA=CP；
（2）如图2，

连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=60°
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
由（1）知，CP=AC=$\sqrt{3}$，
∴BP=BC-CP=3-$\sqrt{3}$，
由（1）知AC=CP，
∵AF⊥CE，
∴AF=PF，
∵OA=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{3}$）．

点评 此题是切线的性质，主要考查了圆的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线，圆周角的性质，求出∠APC=45°，和求出∠BAC=60°是解本题的关键．