Question

17．如图，一次函数y₁=k₁x+2与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于点A（4，m）和B（-8，-2），与y轴交于点C．
（1）k₁=$\frac{1}{2}$，k₂=16，当y₁＞y₂时，x的取值范围是-8＜x＜0或x＞4；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE=3：1时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AB上一动点，是否存在过点M的直线MN，使MN⊥AB，且与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$只有一个公共点？若存在，请求出直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）先把B点坐标代入入y₁=k₁x+2可确定一次函数解析式，再把B（-8，-2）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$可确定反比例函数解析式；观察函数图象得到当-8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）先确定点A的坐标是（4，4），点C的坐标是（0，2），再计算出S_梯形ODAC=12，由S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1可求得S_△ODE，可求得DE=2，则可求得E的坐标为，然后确定直线OP的解析式，联立直线OP与反比例函数解析式，解方程组可确定P点坐标；
（3）由AB的解析式可设出M点坐标，由MN⊥AB，可设出MN的解析式，联立直线MN解析式与反比例函数解析式，消去y可得到关于x的一元二次方程，再由其判别式为0可得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标，从而可求得直线MN的解析式．

解答 解：
（1）把B（-8，-2）代入y₁=k₁x+2得-8k₁+2=-2，解得k₁=$\frac{1}{2}$，
∴一次函数解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x+2；
把B（-8，-2）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$得k₂=-8×（-2）=16，
∴反比例函数解析式为y₂=$\frac{16}{x}$
∵当y₁＞y₂时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，
∴-8＜x＜0或x＞4；
故答案为：$\frac{1}{2}$；16；-8＜x＜0或x＞4；

（2）把A（4，m）代入y₂=$\frac{16}{x}$得4m=16，解得m=4，
∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），
∴CO=2，AD=OD=4．
∴S_梯形ODAC=$\frac{1}{2}$×（2+4）×4=12，
∵S_梯形ODAC：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{3}$×12=4，
∴$\frac{1}{2}$OD•DE=4，
∴DE=2，
∴点E的坐标为（4，2）．
设直线OP的解析式为y=kx，把E（4，2）代入得4k=2，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
联立直线OP与反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{16}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴P的坐标为（4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；

（3）∵点M为直线AB上一动点，
∴可设点M坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+2），
∵MN⊥AB，
∴可设直线MN的解析式为y=-2x+b，
把M点坐标代入可得$\frac{1}{2}$t+2=-2t+b，解得b=$\frac{5}{2}$t+2，
∴直线MN的解析式为y=-2x+（$\frac{5}{2}$t+2），
联立直线MN与反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+\frac{5}{2}t+2}\\{y=\frac{16}{x}}\end{array}\right.$，消去y，整理可得2x²-（$\frac{5}{2}$t+2）x+16=0，
∵直线MN与双曲线只有一个公共点，
∴△=0，即（$\frac{5}{2}$t+2）²-128=0，解得t=$\frac{-2±8\sqrt{2}}{5}$，
∴直线MN的解析式为y=-2x+8$\sqrt{2}$或y=-2x-8$\sqrt{2}$，即存在满足条件的直线MN．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、一元二次方程根的判别式、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（2）中求得E点的坐标是解题的关键，在（3）中利用条件设出直线MN的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．