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3.已知:四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,点E是边BC延长线上一点,且∠CDE=∠ABD,连接AE交边CD于点F.
(1)如图1,求证:∠CBD=∠AED+∠DAE;
(2)如图2,过点F作FM∥BC交AB于点M,交BD于点N,若CD=$\frac{4}{5}$DE,试探究线段AM和BN之间的数量关系,并证明你的结论.

分析 (1)如图1,要证∠CBD=∠AED+∠DAE,只需证∠CBD+∠ADE=180°,由于∠CDE=∠ABD,只需证∠ABC+∠ADC=180°,由于四边形ABCD的内角和等于360°,只需证到∠BAD+∠BCD=180°即可;
(2)连接AC,如图2,由∠BAD+∠BCD=180°可得A、B、C、D四点共圆,根据圆周角定理可得∠ABD=∠ACD,从而可证到AC∥DE,即可得到△ACF∽△EDF,则有$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$.然后根据平行线分线段成比例可得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$,$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$,由此可推出$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$.易证△ABD∽△CDE,则有$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$,故$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$.

解答 解:(1)证明:∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠CBA+∠ADC=360°-180°=180°,
∴∠CBD+∠ABD+∠ADC=180°.
∵∠CDE=∠ABD,
∴∠CBD+∠CDE+∠ADC=180°,
∴∠CBD+∠ADE=180°.
∵∠AED+∠DAE+∠ADE=180°.
∴∠CBD=∠AED+∠DAE;

(2)$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$.
证明:连接AC,如图2.
∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠ABD=∠ACD.
∵∠CDE=∠ABD,
∴∠CDE=∠ACD,
∴AC∥DE,
∴△ACF∽△EDF,
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$.
∵FM∥BC,
∴根据平行线分线段成比例得:
$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$,$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$,
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{BN}{DN}$,
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BN}{BD}$即$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$.
∵∠BAD+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠DCE.
∵∠ABD=∠CDE,
∴△ABD∽△CDE,
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$.

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例、等式的恒等变形、三角形内角和定理、四边形的内角和定理等知识,有一定的难度,证到AC∥DE并运用平行线分线段成比例是解决第(2)小题的关键.

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