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【题目】已知关于的一元二次方程.

(1)试证明:无论取何值此方程总有两个实数根;

(2)若原方程的两根满足,求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)-2.

【解析】(1)将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,即可得出=(2p+1)2≥0,由此即可证出:无论p取何值此方程总有两个实数根;

(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p,结合x12+x22-x1x2=3p2+1,即可求出p值.

1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.

∵△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,

∴无论p取何值此方程总有两个实数根;

(2)∵原方程的两根为x1、x2

x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.

又∵x12+x22-x1x2=3p2+1,

(x1+x22-3x1x2=3p2+1,

52-3(6-p2-p)=3p2+1,

25-18+3p2+3p=3p2+1,

3p=-6,

p=-2.

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