Question

7．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）如图1，若AB=AC，则BD与CE的数量关系是BD=CE；
（2）如图2，若AB≠AC，请你补全图2，思考BD与CE是否仍然具有（1）中的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，∠BDC=105°，BD=3，且BE平分∠ABC，请写出求BE长的思路．（不用写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠ECB，根据全等三角形的性质得到BD=CE；
（2）补全图形，在BE上截取BF=CD，连接CF，根据角平分线的性质得到∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，由全等三角形的性质得到BD=CF，∠FCB=∠DBC，等量代换得到∠CFE=∠CEF，根据等腰三角形的判定定理得到CF=CE，即可得到结论；
（3）过点E作EM⊥BC于M；根据角平分线的定义得到∠ABC=∠A；由已知条件得到∠EBC=25°，∠A=50°，∠ACB=80°；根据勾股定理得到EM的长度；解直角三角形即可得到BE的长度．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠DBC=∠ECB，
在△DBC和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠ECB}\\{BC=CB}\\{∠DCB=∠EBC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ECB，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；

（2）补全图形，
证明：如图2，在BE上截取BF=CD，连接CF，
∵∠DCB=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠A，
在△DCB和△FBC中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=CD}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△FBC，
∴BD=CF，∠FCB=∠DBC，
∴∠CFE=∠FBC+∠FCB=2∠FBC+∠ABE，
∵∠CEF=∠A+∠ABE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴BD=CE；

（3）求解思路如下：
a．如图3，过点E作EM⊥BC于M；
b．由BE平分∠ABC，可得∠ABC=∠A；
c．由∠BDC=105°，可得∠EBC=25°，∠A=50°，∠ACB=80°；
d．由（2）知CE=BD=3，在Rt△CEM中，可求EM的长度；
e．在Rt△BEM中，由∠EBM的度数和的EM的长度，可求BE的长度．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是熟练掌握证明三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．