Question

【题目】如图所示，在□ABCD中，AE⊥BD ， CF⊥BD ， 垂足分别为点E ， F ， 点G、H分别为AD ， BC的中点，试证明EF和GH互相平分．

Answer 1

【答案】证明：设BD于GH交于O ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC ， AD//BC
∴∠GDO=∠BHO ， ∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD ， BC的中点 ，
∴DG=BH
∴△DGO≌△BHO ，
∴GO=HO ， DO=BO ，
∵AE⊥BD ， CF⊥BD ，
∴∠AED=∠CFB=90 ，
又∵∠ADE=∠CBF ， AD=BC ，
∴△ADE≌△CBF ，
∴DE=BF ，
∴DE-DO=BF-BO ，
即EO=FO ，
∴EF和GH互相平分．
【解析】利用平行四边形的性质与判定证明△DGO≌△BHO ， △ADE≌△CBF是本题的关键．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的判定，需要了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形才能得出正确答案．