Question

如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，
求证：（1）△BDF是等腰三角形
（2）BD+EC=DE．

Answer 1

证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠DFB，
又∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴△BDF是等腰三角形；

（2）∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF，
同理：△EFC是等腰三角形，
∴EF=EC，
∴BD+EC=DF+EF=DE．
分析：（1）利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠DBF=∠FBC，∠FBC=∠DFB，即可证出∴△BDF是等腰三角形；
（2）同（1）证出：△EFC是等腰三角形，所以得到DB=DF，EF=EC，从而得出结论．
点评：本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．