Question

1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连结BE、DF，点P在DF上，且BP=BC，连接EP并延长交BC的延长线于点Q．
（1）△ABE≌△CDF；
（2）求∠BPE的度数；
（3）若BC=n•CQ．试求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）连接EF作PM⊥EB于M，FN⊥EB于N，连接AM，先证明△PMB≌△FNE，再证明△EBP≌△EBA，即可解决问题．
（3）连接AM，先证明A、M、P共线，设AB=2a，则DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=$\sqrt{5}$a，由△APD∽△BAE，得$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$，求出PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，由ED∥FQ，得到$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$，求出FQ．CQ即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCF=90°，
∵DE=AE，CF=FB，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF．
（2）连接EF作PM⊥EB于M，FN⊥EB于N，
∵DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴PM=FN，
∵DE=CF，DE∥CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=BC=PB，
在RT△PMB和RT△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=EF}\\{PM=FN}\end{array}\right.$，
∴△PMB≌△FNE，
∴∠FEN=∠PBM=∠EBA，
在△EBP和△EBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBP=∠EBA}\\{BA=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBP≌△EBA，
∴EP=EA，∠BPE=∠BAE=90°，
（3）连接AM．∵BP=BA，EP=EA，
∴EB垂直平分AP，
∴A、M、P共线，设AB=2a，则DE=AE=CF=BF=a，DF=BE=$\sqrt{5}$a，
∵DF∥EB，AP⊥EB，
∴AP⊥DF，
∵∠APD=∠BAE=90°，∠DAP=∠ABE，
∴△APD∽△BAE，
∴$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$，
∴PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∵ED∥FQ，
∴$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$，
∴FQ=$\frac{3}{2}$a，
∴CQ=$\frac{1}{2}$a，∵BC=n•CQ，
∴2a=n•$\frac{1}{2}$a，
∴n=4．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．