分析 (1)根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明.
(2)连接EF作PM⊥EB于M,FN⊥EB于N,连接AM,先证明△PMB≌△FNE,再证明△EBP≌△EBA,即可解决问题.
(3)连接AM,先证明A、M、P共线,设AB=2a,则DE=AE=CF=BF=a,DF=BE=$\sqrt{5}$a,由△APD∽△BAE,得$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$,求出PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a,PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a,由ED∥FQ,得到$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$,求出FQ.CQ即可解决问题.
解答 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCF=90°,
∵DE=AE,CF=FB,
∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CDF.
(2)连接EF作PM⊥EB于M,FN⊥EB于N,
∵DE∥BF,DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴PM=FN,
∵DE=CF,DE∥CF,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴EF=CD=BC=PB,
在RT△PMB和RT△FNE中,
$\left\{\begin{array}{l}{PB=EF}\\{PM=FN}\end{array}\right.$,
∴△PMB≌△FNE,
∴∠FEN=∠PBM=∠EBA,
在△EBP和△EBA中,
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBP=∠EBA}\\{BA=BP}\end{array}\right.$,
∴△EBP≌△EBA,
∴EP=EA,∠BPE=∠BAE=90°,
(3)连接AM.∵BP=BA,EP=EA,
∴EB垂直平分AP,
∴A、M、P共线,设AB=2a,则DE=AE=CF=BF=a,DF=BE=$\sqrt{5}$a,
∵DF∥EB,AP⊥EB,
∴AP⊥DF,
∵∠APD=∠BAE=90°,∠DAP=∠ABE,
∴△APD∽△BAE,
∴$\frac{AP}{BA}$=$\frac{PD}{AE}$=$\frac{AD}{BE}$,
∴PD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a,PF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a,
∵ED∥FQ,
∴$\frac{ED}{FQ}$=$\frac{DP}{PF}$=$\frac{2}{3}$,
∴FQ=$\frac{3}{2}$a,
∴CQ=$\frac{1}{2}$a,∵BC=n•CQ,
∴2a=n•$\frac{1}{2}$a,
∴n=4.
点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质勾股定理等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,属于中考常考题型.
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A. | 1.1×10-9米 | B. | 1.1×10-10米 | C. | 11×10-9米 | D. | 0.11×10-9米 |
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