Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）图中两部分阴影面积的和．

Answer 1

分析：（1）连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）设⊙O与BC交于M、N两点，由（1）得：四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据tanC=

2

3

，OE=3，求出EC=

9

2

，根据S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接OE，
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

2

3

，
∴tanC=

2

3

．
答：tanC=

2

3

．

（2）如图，设⊙O与BC交于M、N两点，
由（1）得：四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=

2

3

=

OE

CE

，OE=3，
∴EC=

9

2

，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S圆O=

1

4

π×32=

9

4

π，
∴S_阴影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

39

4

-

9

4

π，
答：图中两部分阴影面积的和为

39

4

-

9

4

π．

点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．