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    2．（1）操作发现：
    将等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE按如图1方式叠放，其中∠ACB=∠ADE=90°，点D，E分别在AB，AC边上，M为BE的中点，连结CM，DM．小明发现CM=DM，你认为正确吗？请说明理由．
    （2）思考探究：
    小明想：若将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
    探究一：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转45°（如图2），其他条件不变，发现结论CM=DM依然成立．请你给出证明．
    探究二：将图1中的等腰Rt△ADE绕点A沿逆时针方向旋转135°（如图3），其他条件不变，则结论CM=DM还成立吗？请说明理由．

    分析 （1）连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，先证明△EMD≌△BMN，得到BN=DE=DA，再证明△CAD≌△CNB，得到CD=CN，证明△DCM是等腰直角三角形即可；
    （2）探究一：延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MBC，根据ASA推出△EMD≌△BMN，证出BN=AD，证明△CMD为等腰直角三角形即可；
    探究二：作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出∠E=∠NBM，根据ASA证△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD为等腰直角三角形．

    解答 解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，
    ∵∠EDA=∠ABN=90°，
    ∴DE∥BN，
    ∴∠DEM=∠MBN，
    ∵在△EMD和△BMN中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NBM}\\{EM=BM}\\{∠EMD=∠NMB}\end{array}\right.$，
    ∴△EMD≌△BMN（ASA），
    ∴BN=DE=DA，MN=MD，
    在△CAD和△CNB中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠A=∠CBN=45°}\\{BN=DA}\end{array}\right.$，
    ∴△CAD≌△CNB，
    ∴CD=CN，
    ∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
    ∴CM⊥DN，
    ∴△DCM是等腰直角三角形，
    ∴DM=CM；
    （2）探究一，
    理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
    ∵∠EDA=∠ACB=90°，
    ∴DE∥BC，
    ∴∠DEM=∠MBC，
    ∵在△EMD和△BMN中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠NBM}\\{EM=BM}\\{∠EMD=∠NMB}\end{array}\right.$，
    ∴△EMD≌△BMN（ASA），
    ∴BN=DE=DA，MN=MD
    ∵AC=BC，
    ∴CD=CN，
    ∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
    ∴CM⊥DM，∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCN=45°=∠BCM，
    ∴△CMD为等腰直角三角形．
    ∴DM=CM；
    探究二，
    理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
    ∴∠E=∠MBN=45°．
    ∵点M是BE的中点，
    ∴EM=BM．
    ∵在△EMD和△BMN中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MBN}\\{EM=BM}\\{∠DME=∠NMB}\end{array}\right.$
    ∴△EMD≌△BMN（ASA），
    ∴BN=DE=DA，MN=MD，
    ∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
    ∴∠DAC=∠NBC=90°
    ∵在△DCA和△NCB中
    $\left\{\begin{array}{l}{DA=BN}\\{∠DAC=∠NBC}\\{CA=BC}\end{array}\right.$，
    ∴△DCA≌△NCB（SAS），
    ∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
    ∴∠DCN=∠ACB=90°，
    ∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
    ∴CM⊥DM，∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCN=45°=∠CDM，
    ∴△CMD为等腰直角三角形．
    ∴DM=CM

    点评 本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．

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