Question

如图△ABC中，AB=AC，BD∥AC，CE∥AB，过点A的直线交BD于D，交CE于E；

（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）延长CD交AB于N，延长EB交CA于M，求证：AM=BN．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质，可得出∠CAE=∠BDA，∠CEA=∠BAD，根据两角对应相等的两个三角形相似，得出结论；
（2）由BD∥AC，则△NBD∽△NAC，由AB∥CE，得出△ABM∽△CEM，从而得出比例式

NB

NA

=

AM

CM

，根据等式的基本性质，求出AM=NB．

解答：证明：（1）∵BD∥AC，CE∥AB，
∴∠CAE=∠BDA，∠CEA=∠BAD，
∴△ABD∽△ECA；

（2）∵BD∥AC，
∴△NBD∽△NAC，
∴

NB

NA

=

BD

AC

=

BD

AB

，
∵△ABD∽△ECA，
∴

BD

AB

=

AC

CE

=

AB

CE

；
∵AB∥CE，
∴△ABM∽△CEM，
∴

AB

CE

=

AM

CM

，
∴

NB

NA

=

AM

CM

，
∴

NA

NB

-1=

CM

AM

-1，
∴

AB

NB

=

AC

AM

，
∴AM=NB．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，根据两角对应相等的两个三角形相似，是证明两个三角形相似的最简单方法．