Question

如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，过D作DE⊥AB，垂足为E点．
（1）求证：AB=AC+CD；
（2）已知AC=4cm，求CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AAS可以证明△ACD≌△AED，得AE=AC，DE=CD．根据等腰直角三角形的性质，得∠B=45°，则∠BED=45°，从而证明DE=BE，则AB=AC+CD；
（2）设CD=xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD=xcm，再根据AC=BC列方程求解．
解答：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD．
又∠AED=∠C=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED．
∴AE=AC，DE=CD．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°．
∴∠BDE=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

（2）解：设CD=xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD=xcm．
又AC=BC，
∴x+x=4，
x=4-4．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及一元一次方程的知识．