Question

20．已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于D，若BC=6．
（1）求AB的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设BD=x，则CD=6-x，由题意得出AD=BD=x，再由∠C=60°得出∠CAD=30°，故AC=2CD=12-2x，再根据勾股定理即可得出x的值，即可得出AB的值．
（2）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出结果．

解答 解：（1）∵BC=6，
∴设BD=x，则CD=6-x．
∵∠B=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD=x．∵∠C=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AC=2CD=12-2x，
在Rt△ACD中，
∵AD²+CD²=AC²，即x²+（6-x）²=（12-2x）²，
解得：x=9-3$\sqrt{3}$，或x=9+3$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴BD=9$-3\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$（9-3$\sqrt{3}$）=9$\sqrt{2}$-3$\sqrt{6}$；
（2）△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×（9-3$\sqrt{3}$）=27-9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．