Question

【题目】锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．

（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）延长BQ交AP于点M，根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°，然后求出∠CQP=45°，根据等角对等边的性质求出CQ=CP，然后利用边角边定理证明△BCQ与△ACP全等，再根据全等三角形对应边相等，即可证明BQ=AP，对应角相等可得∠CBQ=∠CAP，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠CAP+∠AQM=90°，从而得到BQ⊥AP；

（2）延长QB交AP于点M，根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°，根据对顶角相等得到∠CPQ=45°，然后求出∠CQP=45°，根据等角对等边的性质求出CQ=CP，然后利用边角边定理证明△BCQ与△ACP全等，再根据全等三角形对应边相等，即可证明BQ=AP，对应角相等可得∠BQC=∠APC，又∠CBQ+∠BQC=90°，所以∠PBM+∠APC=90°，从而得到BQ⊥AP．

试题解析：（1）BQ=AP，BQ⊥AP．

证明：延长BQ交AP于点M，

∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，

∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，

∴∠BCQ=∠ACP=90°，∠CQP=∠EPF=45°，

∴CQ=CP，

在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP，∠CBQ=∠CAP，

∵∠BCQ=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠BQC=∠AQM（对顶角相等），

∴∠CAP+∠AQM=90°，

∴∠AMB=90°，

∴BQ⊥AP；

（2）关系仍然成立：BQ=AP，BQ⊥AP．

证明：延长QB交AP于点M，

∵△ABC和△EFP都是等腰直角三角板，

∴BC=AC，AC⊥BC，∠EPF=45°，

∴∠BCQ=∠ACP=90°，

∵∠CQP=∠EPF=45°，

∴∠CPQ=∠CQP=45°，

∴CQ=CP，

在△BCQ和△ACP中，

，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

∵∠BCQ=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠PBM=∠QBC（对顶角相等），

∴∠PBM+∠APC=90°．