Question

9．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断线段CD与线段BE的关系，并说明理由；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P．使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可根据直线y=-2x-1求出B点的坐标，根据A、O关于直线x=2对称，可得出A点的坐标，已知了抛物线上三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先求出C、B、E、D四点的坐标，根据C、B、E三点的坐标可求出CB，CE的长，过B作BF⊥y轴于F，过E作EH⊥y轴于H，根据B、D、E三点坐标即可得出BF=EH，DF=DH，通过证两三角形全等即可得出BD=DE即D是BE中点的结论；
（3）若PB=PE，则P点必在线段BE的垂直平分线上即直线CD上，可求出直线CD的解析式，联立抛物线即可求出P点的坐标．

解答 （1）解：∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
∴B（-2，3），
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2
∴点A的坐标为（4，0），
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x-0）（x-4），
将点B（-2，3）代入上式，得3=a（-2-0）（-2-4），
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=$\frac{1}{4}$x（x-4），
即y=$\frac{1}{4}$x²-x；

（2）CD垂直平分BE，
理由：直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D（0，-1）E（2，-5），
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4，
在Rt△BGC中，BC=$\sqrt{C{G}^{2}+B{G}^{2}}$=5，
∵CE=5，
∴CB=CE=5，
过点E作EH∥x轴，交y轴于H，

则点H的坐标为H（0，-5），
又点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，-1），
在△DFB与△DHE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DH}\\{∠BFD=∠EHD}\\{BF=EH}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE，
即CD垂直平分BE；

（3）解：存在．
由于PB=PE，∴点P在直线CD上
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b
将D（0，-1）C（2，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{2}$，b=-1，
∴直线CD对应的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x-1，
∵动点P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-x）
∴$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{4}$x²-x，
解得x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3-$\sqrt{5}$，
∴y₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，y₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴符合条件的点P的坐标为（3+$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）或（3-$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、函数图象交点等知识．