Question

【题目】如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．其中正确的结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半以及角平分线的性质计算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，结合等腰三角形的性质可判断①②③；利用ASA证明△FBD≌△NAD，判断④；利用SAS证明△EBA≌△EBN，判断⑤；从而得到结论.

∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝45°＝∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，

∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，

∴AF＝AE，故①正确；③错误，

∵M为EF的中点，

∴AM⊥EF，故②正确；

∵AM⊥EF，

∴∠AMF＝∠AME＝90°，

∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，

在△FBD和△NAD中，

，

∴△FBD≌△NAD（ASA），

∴DF＝DN，故④正确；

∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，

∴BA＝BN，

∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，

∴△EBA≌△EBN（SAS），

∴∠BNE＝∠BAM＝90°，

∴∠ENC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EN．故⑤正确，

综上：①②④⑤正确，共4个，

故选：D．