Question

【题目】如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园

（1）如图1其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏.

①若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；

②求矩形菜园面积的最大值.

（2）如图2，若，则旧墙与木栏能围成的矩形菜园面积的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）①；②I 当时，的最大值为；II 当时，的范围为，的最大值为；（2）时，的最大值为.

【解析】

（1）①设AB=xm，则BC=（100-2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100-2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
②设AD=xm，利用矩形面积得到S=x（100-x），配方得到S=-（x-50）2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a-a2．

（2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．

（1）设AB=xm，则BC=（100-2x）m，
根据题意得x（100-2x）=450，解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100-2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100-2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100-x）=-（x-50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a-a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，S的最大值为（50a-a2）m2．

（2）设四边形ABCD的面积为W，AD=x，则AB=60-x，
∴W=x（60-x）=-（x-30）2+900（10＜x＜60），
∴当x=30时，矩形菜园ABCD面积的最大值是900m2．
故答案为：900．