Question

2．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）2a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）5a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y₁）、点B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、点C（$\frac{7}{2}$，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₂＜y₃；（5）若方程a（x+1）（x-5）=c的两根为x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₁＜-1＜5＜x₂，其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，则有4a+b=0；
（2）观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；
（3）由（1）得b=-4a，由图象过点（-1，0）得：c=-5a，代入5a+7b+2c中，根据a的大小可判断结果是正数还是负数，
（4）根据当x＜2时，y随x的增大而增大，进行判断；
（5）由（x+1）（x-5）＜0，由图象可知：x＜-1或x＞5可得结论．

解答 解：（1）-$\frac{b}{2a}$=2，
∴4a+b=0，
所以此选项不正确；

（2）由图象可知：当x=-3时，y＜0，
即9a-3b+c＜0，
9a+c＜3b，
所以此选项不正确；

（3）∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵4a+b=0，
∴b=-4a，
把（-1，0）代入y=ax²+bx+c得：a-b+c=0，
a+4a+c=0，
c=-5a，
∴5a+7b+2c=5a-7×（-4a）+2×（-5a）=-33a＞0，
∴所以此选项正确；

（4）由对称性得：点C（$\frac{7}{2}$，y3）与（0.5，y₃）对称，
∵当x＜2时，y随x的增大而增大，
且-3＜-$\frac{1}{2}$＜0.5，
∴$\frac{7}{2}$y₁＜y₂＜y₃；
所以此选项正确；

（5）∵a＜0，c＞0
∴（x+1）（x-5）=$\frac{c}{a}$＜0，
即（x+1）（x-5）＜0，
故x＜-1或x＞5，
所以此选项正确；
∴正确的有三个，
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线是轴对称图形，明确抛物线的增减性与对称轴有关，并利用数形结合的思想综合解决问题．