Question

17．已知关于x的方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，求x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得x₁+x₂=2m+1、x₁•x₂=m（m+1），利用配方法可将${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$变形为$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂，代入数据即可得出${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=2$（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$，进而即可得出${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$的最小值．

解答 （1）证明：∵△=[-（2m+1）]²-4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m（m+1），
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（2m+1）²-2m（m+1）=2m²+2m+1=2$（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=2$（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$．