Question

如图平行四边形OABC，A点坐标为（2，0）抛物线y=ax²+bx+4经过点A、B、C三点，交y轴于D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点且△OBP≌△ODP，求P点坐标；
（3）直线MN∥x轴，交抛物线于N，交y轴负半轴于M，连线段BN、AM，BN交OD于E，得AM∥BN，求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，可得到点B的坐标，由于平行四边形的对边相等，即OA=BC=2，由此可求得抛物线的对称轴方程，进而可求得D点坐标，然后将点D的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程即可确定该二次函数的解析式．
（2）由抛物线的解析式可求得OB=OD=4，若△OBP≌△ODP，那么必有∠BOP=∠DOP，即P点为二、四象限的角平分线与抛物线的交点，可据此求得点P的坐标．
（3）由MN∥x轴，可得到OE：OB=MN：BM，由AM∥BE，可得到OE：OB=OA：OM，等量代换后可求得MN：BM=OA：OM，可设出点N的坐标，即可表示出MN、OM的长，根据上面的比例式，可得到N点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式，即可求出N点的横坐标，而MN的长为N点横坐标的绝对值，由此得解．

解答：解：（1）由平行四边形ABCO得：BC=AO=2，
∴对称轴x=-

b

2a

=-1，b=2a，D（-4，0），
∵y=ax²+2ax+4过点D（-4，0），
∴0=16a-8a+4，a=-

1

2

；
故抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²-x+4．

（2）∵△OBP≌△ODP，且OB=OD=4，
∴∠BOP=∠DOP，
即∠BOP=45°或135°，
故P在第二或第四象限的角平分线上，
即P的横坐标与纵坐标互为相反数，（5分）
则有：x+y=0；
又y=-

1

2

x²-x+4，x+y=-

1

2

x²+4=0，
解得：x₁=2

2

，x₂=-2

2

；y₁=-2

2

，y₂=2

2

；
故P（2

2

，-2

2

）或（-2

2

，2

2

）．（7分）

（3）设N（x，y），则OM=-y，MN=-x；
∵MN∥x轴，AM∥BN，
∴

OE

MN

=

OB

MB

①，

OE

OA

=

BO

OM

②；（9分）
由①②得

MN

BM

=

OA

OM

，

-x

4-y

=

2

-y

，y=

8

x+2

；（10分）
又y=-

1

2

x²-x+4

8

x+2

=-

1

2

x²-x+4，
化简得x²+4x-4=0，
解得x₁=2

2

-2，x₂=-2

2

-2；
MN=-x=2

2

+2．（12分）

点评：此题考查了二次函数解析式的性质及解析式的确定、全等三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、平行线分线段成比例定理等重要知识点，综合性强，难度较大．