Question

“相约红色重庆，共享绿色园博”，位于重庆市北部新区的国际园林博览会是一个集自然景观和人文景观为一体的大型城市生态公园．自2011年11月19日开园以来，某商家在园博园内出售纪念品“山娃”玩偶．十周以来，该纪念品深受游人喜爱，其销售量不断增加，销售量y（件）与周数x（1≤x≤10，且x取整数）之间所满足的函数关系如下表所示：

周数x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量y（件）	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200

为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与周数x（1≤x≤10，且x取整数）之间成一次函数关系，且第一周的销售单价为68元，第二周的销售单价为66元．另外，已知该纪念品每件的成本为30元．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式；根据题意，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；
（2）求前十周哪一周的销售利润最大，并求出此最大利润；
（3）从十一周开始，其他商家陆续入驻园博园，因此该商店的销售情况不如从前．该纪念品的销售量比十周下降a%（0＜a＜10），于是该商家将此纪念品的销售单价在十周的基础上提高1.4a%．另外，随着园博园管理措施的逐步完善，该商家需每周交纳200元的各种费用．这样，十一周的销售利润恰好与十周持平．请参考以下数据，估算出a的整数值．
（参考数据：22²=484，23²=529，24²=576，25²=625）

Answer 1

分析：（1）根据表格数据可得出y与x的函数关系式；设z=kx+b，将点（1，68），（2，66）代入可得出z与x的函数关系式；
（2）设前十周每周利润为W，根据W=销售量×（售价-成本）列出解析式，利用配方法可求最大值；
（3）求出第十周的销售量，销售单价，继而求出第十一周的销售量，销售单价，根据题意则可得出第十一周的利润，又根据十一周的销售利润恰好与十周持平列出等式，即可求出a的值．

解答：解：（1）由表格数据可得：y=10x+100（1≤x≤10，且x取整数）；
设z=kx+b，将点（1，68），（2，66）代入可得：

k+b=68 2k+b=66

，
解得：

k=-2 b=70

，
故z=-2x+70（1≤x≤10，且x取整数）；

（2）设前十周内第x周的销售利润为W（元），由题意知：W=y（z-30），
代入y，z解析式得：y=（10x+100）（-2x+70-30）=-20x²+200x+4000
=-20（x-5）²+4500，
∵-20＜0，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当x=5时，W取得最大值4500．
故前十周内第五周的销售利润最大，为4500元；
（3）十周的销售量由表知为200件．
十周的销售单价=-2×10+70=50（元），
十周的销售利润=200×（50-30）=4000（元），
由题意可得：第十一周的销售量为200（1+-a%），
第十一周的销售单价为50（1+1.4a%），
∵十一周的销售利润恰好与十周持平，
∴根据题意列出方程式：200（1-a%）[50（1+1.4a%）-30]-200=4000，
设t=a%，原方程可整理为：70t²-50t+1=0，
解得t=

25± 555

70

．
∵23²=529，24²=576，而555更接近576，∴t≈

25±24

70

，
∴t₁≈0.7或t₂≈0.014，
∴a₁≈70或a₂≈1．
∵0＜a＜10，
∴a₁≈70舍去，
∴a=1．
∴a的整数值为1．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式，要求同学们熟练掌握用配方法求二次函数的最值问题．