Question

13．如图1，已知A（0，2）、B（-1，0）两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CM⊥x轴于M，只要证明△CBM≌△BAO即可．
（2）如图2中，先证明AB=BD=$\sqrt{5}$，求出直线BC的解析式，然后求出点E坐标，求出BE的长即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作CM⊥x轴于M．
∵BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°，
∵∠BCM+∠CBM=90°，
∴∠BCM=∠ABO，
在△CBM和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCM=∠ABO}\\{∠CMB=∠AOB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△BAO，
∴CM=B0=1，BM=AO=2，
∴点C坐标为（-3，1）．
（2）证明：如图2中，∵∠CAB=45°，AC=AD，AB⊥CD，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠D=∠BAD=45°，
∴BD=AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
设直线BC为y=kxb把B、C两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴点E坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）．
∴BE=$\sqrt{{1}^{1}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DE=BD-BE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BE=ED．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、一次函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．