Question

如图，抛物线y=-x²+1与x轴的正半轴交于A点，将OA段的n等分点从左到右分别记为P₁，P₂，…P_n-1，过P_n-1P_n-2的中点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次记为Q₁，Q₂，…Q_n-1，从而得到n-1个等腰三角形△Q₁OP₁、△Q₂P₁P₂…、△Q_n-1P_n-2P_n-1记这些三角形的面积之和为S，试用n表示为S的函数S_（n）．
提示：1²+2²+3²+…n²=（n是非零整数）

Answer 1

【答案】分析：根据题意可知每个三角形的底边长均为，设出OA上第k个分点的坐标P_k，得出第k个三角形底边中点坐标O_k，得出第k个三角形面积的表达式，然后把各个面积加起来即可得到答案．
解答：解：∵OA=1，
∴每个三角形的底边长均为，
设OA上的第k个分点为P_k（，0）．
记第k个三角形的底边中点为O_k，则O_k为（，0），
代入y=-x²+1中可以得到y=-+1，
∴第k个三角形的面积为=，
∴
=，
=
∵，
∴，
，
∴
=
=．
综上可得S_（n）=．
点评：本题考查了二次函数的运用，要求有很高的计算能力，分式之间的相互转换非常重要，应该记住一些基本的式子．