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    （2008•厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．
    （1）求OB和OM的值；
    （2）求直线OD所对应的函数关系式；
    （3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

    【答案】分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4；
    因为=，所以=，OM=．
    （2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易证==，故DB=1，D（1，2）．故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．
    （3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON==，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直线OD所对应的函数关系式是y=2x，
    设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，故=，故n=，由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，
    ∴S=（0＜t≤）；
    当＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
    由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO，
    ∴=，
    ∴=，BE=，
    可分别求出三角形的值．
    解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，
    ∴OB=4，
    ∵=，
    ∴=，
    ∴OM=．

    （2）由（1）得：OM=，
    ∴BM=，
    ∵DB∥OA，易证==，
    ∴DB=1，D（1，2），
    ∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．

    （3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，
    分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
    ∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，
    OP=t．∴ON=t，PN=t，
    ∵直线OD所对应的函数关系式是y=2，
    设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，
    ∴=，
    ∴=，
    整理得：=，
    ∴8n-2nt=2t-nt，
    ∴8n-nt=2t，n（8-t）=2t，
    ∴n=．
    由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，
    ∴S=（0＜t≤），
    当＜t＜4时，点E在BD边上，
    此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，
    ∵DB∥OA，
    易证：△EPB∽△APO，
    ∴=，
    ∴=，
    BE=，
    S△ABE=BE•AB=××2=×2==，
    ∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
    综上所述：S=．

    （3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，
    易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．
    解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，
    由①得，∠OBA=30°，
    ∵OP=t，
    ∴ON=t，PN=t，
    即：P（t，t），又（2，0），
    设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，
    则，
    解得：k=，b=，
    ∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=x+．
    依题意：当0＜t≤时，在OD边上，
    ∴E（n，2n），在直线AP上，
    ∴-+=2n，
    整理得：-=2n，
    ∴n=，
    ∴S=（0），
    当＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2），因为E在直线AP上，
    ∴-+=2，
    整理得：+=2∴8n-nt=2t，
    ∴n=，
    BE=2-n=2-=，
    ∴S=（1+2）×2-×2=3-×2=-+5，
    综上所述：S=．
    点评：本题比较复杂，难度较大，把一次函数的解析式与解直角三角形，三角形相似的性质结合起来，锻炼了学生对所学知识的应用能力．
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